Student’s t test 是假设检验的重要方法。

Student’s t test

学生 t 检验（student’s t test，也称 t-test）是一种统计检验，用于比较两组的均值。在假设检验中常用于确定某个过程、处理是否对目标真的有显著影响，或者两组是否有显著差异。
比如：想知道鸢尾花的平均花瓣长度是否和花的种类有关，收集两种鸢尾花的花瓣长度数据，每组测量 25 次，可使用 t 检验检测两组之间的差异。

零假设 H0：两组均值之间的真实差异为零，即没有差异

备择假设 Ha：真实差异不为零

适用情况： t 检验只能用于比较两组的均值（也称成对比较），如果想比较两组以上，用 ANOVA 检验或 post-hoc test。

t 检验的假设前提和类型

t 检验假设

  1. 数据之间相互独立
  2. 数据满足（或近似满足）正态分布
  3. 方差同质性：被比较的组的方差相似

若数据不满足要求，可以尝试非参数检验（nonparametric test），如 Wilcoxon Signed-Rank test。

t 检验类型

one-sample，two-sample，paired t-test？

  • paired t-test，配对样本均值检验：组来自同一类别（如某种处理的前后测量）
  • two-sample，两独立样本均值检验：组来自两个不同类别（如两种物种，来自两个城市的人），也即 independent t-stet
  • one-sample，单样本均值检验：一组和标准值相比较（如将液体的 pH 与中性 pH 7 相比）

one-tailed，two-tailed t-test？

  • two-tailed， 双侧 t 检验：只关注两组是否有差异
  • one-tailed，单侧 t 检验：需要知道两组的均值谁大谁小

如想知道鸢尾花的平均花瓣长度是否和花的种类有关，观测来自两种花，故使用 two-sample t-test；只关注是否有差异，故使用 two-tailed t-test。

t 检验方程

t=x1ˉ−x2ˉs2(1n1+1n2)t=\frac{\bar{x_{1}}-\bar{x_{2}}}{\sqrt{s^{2}(\frac{1}{n_{1} }+ \frac{1}{n_{2} })} }

式中，t 为 t 值，x1，x2 是两组的均值，s两组的合并标准误差，n1，n2 是每组的观测个数

t 值大，则两组的均值差异大于合并标准误差，表明两组的差异显著

实例

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# 检验鸢尾花花瓣长度是否与花的种类有关
# Petal.Length：花瓣长度
# Species：花种类

> flower.data <- read.csv('flower.data.csv', row.names = 1)
> class(flower.data$Species)
[1] "character"

# 转换为因子
> flower.data$Species <- factor(flower.data$Species)
> class(flower.data$Species)
[1] "factor"

> head(flower.data)
  Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species
1          5.1         3.5          1.4         0.2  setosa
2          4.7         3.2          1.3         0.2  setosa
3          5.0         3.6          1.4         0.2  setosa
4          4.6         3.4          1.4         0.3  setosa
5          4.4         2.9          1.4         0.2  setosa
6          5.4         3.7          1.5         0.2  setosa
> table(flower.data$Species)

   setosa virginica 
       25        25 

# two-sample two-tailed t test
> t.test(Petal.Length~Species, flower.data, paired=F, alternative='two.sided')

	Welch Two Sample t-test

data:  Petal.Length by Species
t = -33.719, df = 30.196, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true difference in means between group setosa and group virginica is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -4.331287 -3.836713
sample estimates:
   mean in group setosa mean in group virginica 
                  1.456                   5.540

t.test() 输出内容解释

  • data：对比项
  • t 值：-33.719，虽然是负的，但是大多数情况下，只关注其绝对值
  • df：自由度，30.196，自由度与样本大小有关，表示有多少数据点可用于比较，自由度越大，统计检验越有效
  • p 值：2.2e-16，偶然得到这样的t值的概率
  • alternative hypothesis：备择假设，setosa 和 virginica 组的真实均值差异不为0
  • 95% confidence interval：95% 置信区间，真实的均值差在 95% 可能性下所处的区间，即两组的真实均值差有 95% 可能性处于[-4.331287, -3.836713]区间内；可以更改区间，但 95% 常用
  • mean：各组的均值

由以上结果，样本数据的均值差 = 1.456 - 5.540 = -4.084，置信区间显示均值的真实差异在 [-4.331287, -3.836713] 之间。所以，95% 的情况下均值的真实差异不为0。p 值远小于 0.05，所以可以拒绝原假设（均值差异为0），即可以说，均值的真实差异显著不为0。

t 检验总结方式

展示重要的信息：t 值，p 值，自由度

也可以带上均值（mean）和标准差差（standard deviation）

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> flower.data %>%
  dplyr::group_by(Species) %>%
  dplyr::summarize(mean_length=mean(Petal.Length),sd_length=sd(Petal.Length))
# A tibble: 2 x 3
  Species   mean_length sd_length
  <fct>           <dbl>     <dbl>
1 setosa           1.46     0.206
2 virginica        5.54     0.569